3.620 \(\int \frac {(d+e x^2)^3 (a+b \sin ^{-1}(c x))}{x^2} \, dx\)

Optimal. Leaf size=190 \[ -\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-b c d^3 \tanh ^{-1}\left (\sqrt {1-c^2 x^2}\right )-\frac {b e^2 \left (1-c^2 x^2\right )^{3/2} \left (5 c^2 d+2 e\right )}{15 c^5}+\frac {b e^3 \left (1-c^2 x^2\right )^{5/2}}{25 c^5}+\frac {b e \sqrt {1-c^2 x^2} \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right )}{5 c^5} \]

[Out]

-1/15*b*e^2*(5*c^2*d+2*e)*(-c^2*x^2+1)^(3/2)/c^5+1/25*b*e^3*(-c^2*x^2+1)^(5/2)/c^5-d^3*(a+b*arcsin(c*x))/x+3*d
^2*e*x*(a+b*arcsin(c*x))+d*e^2*x^3*(a+b*arcsin(c*x))+1/5*e^3*x^5*(a+b*arcsin(c*x))-b*c*d^3*arctanh((-c^2*x^2+1
)^(1/2))+1/5*b*e*(15*c^4*d^2+5*c^2*d*e+e^2)*(-c^2*x^2+1)^(1/2)/c^5

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.27, antiderivative size = 190, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 6, number of rules used = 6, integrand size = 21, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.286, Rules used = {270, 4731, 1799, 1620, 63, 208} \[ 3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {b e \sqrt {1-c^2 x^2} \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right )}{5 c^5}-b c d^3 \tanh ^{-1}\left (\sqrt {1-c^2 x^2}\right )-\frac {b e^2 \left (1-c^2 x^2\right )^{3/2} \left (5 c^2 d+2 e\right )}{15 c^5}+\frac {b e^3 \left (1-c^2 x^2\right )^{5/2}}{25 c^5} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^2,x]

[Out]

(b*e*(15*c^4*d^2 + 5*c^2*d*e + e^2)*Sqrt[1 - c^2*x^2])/(5*c^5) - (b*e^2*(5*c^2*d + 2*e)*(1 - c^2*x^2)^(3/2))/(
15*c^5) + (b*e^3*(1 - c^2*x^2)^(5/2))/(25*c^5) - (d^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x + 3*d^2*e*x*(a + b*ArcSin[c*x]) +
d*e^2*x^3*(a + b*ArcSin[c*x]) + (e^3*x^5*(a + b*ArcSin[c*x]))/5 - b*c*d^3*ArcTanh[Sqrt[1 - c^2*x^2]]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 270

Int[((c_.)*(x_))^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^(n_))^(p_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[(c*x)^m*(a + b*x^n)^p,
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, m, n}, x] && IGtQ[p, 0]

Rule 1620

Int[(Px_)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_.), x_Symbol] :> Int[ExpandIntegrand[Px*(a + b*x)
^m*(c + d*x)^n, x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, m, n}, x] && PolyQ[Px, x] && (IntegersQ[m, n] || IGtQ[m, -2]) &&
GtQ[Expon[Px, x], 2]

Rule 1799

Int[(Pq_)*(x_)^(m_.)*((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> Dist[1/2, Subst[Int[x^((m - 1)/2)*SubstFor[x^2,
Pq, x]*(a + b*x)^p, x], x, x^2], x] /; FreeQ[{a, b, p}, x] && PolyQ[Pq, x^2] && IntegerQ[(m - 1)/2]

Rule 4731

Int[((a_.) + ArcSin[(c_.)*(x_)]*(b_.))*((f_.)*(x_))^(m_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^2)^(p_.), x_Symbol] :> With[{u =
IntHide[(f*x)^m*(d + e*x^2)^p, x]}, Dist[a + b*ArcSin[c*x], u, x] - Dist[b*c, Int[SimplifyIntegrand[u/Sqrt[1 -
c^2*x^2], x], x], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[c^2*d + e, 0] && IntegerQ[p] && (GtQ[p, 0] ||
(IGtQ[(m - 1)/2, 0] && LeQ[m + p, 0]))

Rubi steps

\begin {align*} \int \frac {\left (d+e x^2\right )^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x^2} \, dx &=-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-(b c) \int \frac {-d^3+3 d^2 e x^2+d e^2 x^4+\frac {e^3 x^6}{5}}{x \sqrt {1-c^2 x^2}} \, dx\\ &=-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-\frac {1}{2} (b c) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {-d^3+3 d^2 e x+d e^2 x^2+\frac {e^3 x^3}{5}}{x \sqrt {1-c^2 x}} \, dx,x,x^2\right )\\ &=-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-\frac {1}{2} (b c) \operatorname {Subst}\left (\int \left (\frac {e \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right )}{5 c^4 \sqrt {1-c^2 x}}-\frac {d^3}{x \sqrt {1-c^2 x}}-\frac {e^2 \left (5 c^2 d+2 e\right ) \sqrt {1-c^2 x}}{5 c^4}+\frac {e^3 \left (1-c^2 x\right )^{3/2}}{5 c^4}\right ) \, dx,x,x^2\right )\\ &=\frac {b e \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right ) \sqrt {1-c^2 x^2}}{5 c^5}-\frac {b e^2 \left (5 c^2 d+2 e\right ) \left (1-c^2 x^2\right )^{3/2}}{15 c^5}+\frac {b e^3 \left (1-c^2 x^2\right )^{5/2}}{25 c^5}-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{2} \left (b c d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{x \sqrt {1-c^2 x}} \, dx,x,x^2\right )\\ &=\frac {b e \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right ) \sqrt {1-c^2 x^2}}{5 c^5}-\frac {b e^2 \left (5 c^2 d+2 e\right ) \left (1-c^2 x^2\right )^{3/2}}{15 c^5}+\frac {b e^3 \left (1-c^2 x^2\right )^{5/2}}{25 c^5}-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-\frac {\left (b d^3\right ) \operatorname {Subst}\left (\int \frac {1}{\frac {1}{c^2}-\frac {x^2}{c^2}} \, dx,x,\sqrt {1-c^2 x^2}\right )}{c}\\ &=\frac {b e \left (15 c^4 d^2+5 c^2 d e+e^2\right ) \sqrt {1-c^2 x^2}}{5 c^5}-\frac {b e^2 \left (5 c^2 d+2 e\right ) \left (1-c^2 x^2\right )^{3/2}}{15 c^5}+\frac {b e^3 \left (1-c^2 x^2\right )^{5/2}}{25 c^5}-\frac {d^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )}{x}+3 d^2 e x \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+d e^2 x^3 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )+\frac {1}{5} e^3 x^5 \left (a+b \sin ^{-1}(c x)\right )-b c d^3 \tanh ^{-1}\left (\sqrt {1-c^2 x^2}\right )\\ \end {align*}

________________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.22, size = 183, normalized size = 0.96 \[ -\frac {a d^3}{x}+3 a d^2 e x+a d e^2 x^3+\frac {1}{5} a e^3 x^5-b c d^3 \log \left (\sqrt {1-c^2 x^2}+1\right )+\frac {b e \sqrt {1-c^2 x^2} \left (c^4 \left (225 d^2+25 d e x^2+3 e^2 x^4\right )+2 c^2 e \left (25 d+2 e x^2\right )+8 e^2\right )}{75 c^5}+b c d^3 \log (x)+\frac {b \sin ^{-1}(c x) \left (-5 d^3+15 d^2 e x^2+5 d e^2 x^4+e^3 x^6\right )}{5 x} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[((d + e*x^2)^3*(a + b*ArcSin[c*x]))/x^2,x]

[Out]

-((a*d^3)/x) + 3*a*d^2*e*x + a*d*e^2*x^3 + (a*e^3*x^5)/5 + (b*e*Sqrt[1 - c^2*x^2]*(8*e^2 + 2*c^2*e*(25*d + 2*e
*x^2) + c^4*(225*d^2 + 25*d*e*x^2 + 3*e^2*x^4)))/(75*c^5) + (b*(-5*d^3 + 15*d^2*e*x^2 + 5*d*e^2*x^4 + e^3*x^6)
*ArcSin[c*x])/(5*x) + b*c*d^3*Log[x] - b*c*d^3*Log[1 + Sqrt[1 - c^2*x^2]]

________________________________________________________________________________________

fricas [A]  time = 0.76, size = 239, normalized size = 1.26 \[ \frac {30 \, a c^{5} e^{3} x^{6} + 150 \, a c^{5} d e^{2} x^{4} - 75 \, b c^{6} d^{3} x \log \left (\sqrt {-c^{2} x^{2} + 1} + 1\right ) + 75 \, b c^{6} d^{3} x \log \left (\sqrt {-c^{2} x^{2} + 1} - 1\right ) + 450 \, a c^{5} d^{2} e x^{2} - 150 \, a c^{5} d^{3} + 30 \, {\left (b c^{5} e^{3} x^{6} + 5 \, b c^{5} d e^{2} x^{4} + 15 \, b c^{5} d^{2} e x^{2} - 5 \, b c^{5} d^{3}\right )} \arcsin \left (c x\right ) + 2 \, {\left (3 \, b c^{4} e^{3} x^{5} + {\left (25 \, b c^{4} d e^{2} + 4 \, b c^{2} e^{3}\right )} x^{3} + {\left (225 \, b c^{4} d^{2} e + 50 \, b c^{2} d e^{2} + 8 \, b e^{3}\right )} x\right )} \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1}}{150 \, c^{5} x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^2+d)^3*(a+b*arcsin(c*x))/x^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/150*(30*a*c^5*e^3*x^6 + 150*a*c^5*d*e^2*x^4 - 75*b*c^6*d^3*x*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1) + 75*b*c^6*d^3*x*lo
g(sqrt(-c^2*x^2 + 1) - 1) + 450*a*c^5*d^2*e*x^2 - 150*a*c^5*d^3 + 30*(b*c^5*e^3*x^6 + 5*b*c^5*d*e^2*x^4 + 15*b
*c^5*d^2*e*x^2 - 5*b*c^5*d^3)*arcsin(c*x) + 2*(3*b*c^4*e^3*x^5 + (25*b*c^4*d*e^2 + 4*b*c^2*e^3)*x^3 + (225*b*c
^4*d^2*e + 50*b*c^2*d*e^2 + 8*b*e^3)*x)*sqrt(-c^2*x^2 + 1))/(c^5*x)

________________________________________________________________________________________

giac [B]  time = 54.90, size = 10765, normalized size = 56.66 \[ \text {result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^2+d)^3*(a+b*arcsin(c*x))/x^2,x, algorithm="giac")

[Out]

-1/2*b*c^18*d^3*x^12*arcsin(c*x)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^
2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^12) - 1/2*a*c^18*d^3*x^12/((c^16*x^11
/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7
+ 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^12) + b*c^17*d^3*x^11*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11
+ 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
11) - b*c^17*d^3*x^11*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-
c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*
x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11) - 3*b*c^16*d^3*x
^10*arcsin(c*x)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/
(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c
^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^10) - 3*a*c^16*d^3*x^10/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1
) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt
(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^10) + 5*b*c^15*d^3*x^9*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt
(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^
8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9) - 5*b*c^15*d^3*
x^9*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9) - 15/2*b*c^14*d^3*x^8*arcsin(c*x)/(
(c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x
^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) - 3*b*c^15*d^2*x^11*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^
14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11) +
6*b*c^14*d^2*x^10*arcsin(c*x)*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^10) - 15/2*a*c^14*d^3*x^8/((c^16*x^11/
(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 +
10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) + 6*a*c^14*d^2*x^10*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c
^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^10) + 10*b*c^13*d
^3*x^7*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10
*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7) - 10*b*c^13*d^3*x^7*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1
) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^
2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7) - 10*b*c^12*d^3*x^6*arcsin(c*x)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sq
rt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^
2 + 1) + 1)^6) - 9*b*c^13*d^2*x^9*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2
*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9) + 24*b*c^12*d^2*x^8*arcsin(c*x)
*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^
2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c
^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) - 10*a*c^12*d^3*x^6/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*
c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) -
2/3*b*c^13*d*x^11*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^
12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11) + 24*a*c^12*d^2*x^8*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^
2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*
x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) + 10*b*c^11*d^3*x^5*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*
x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5) - 10*b
*c^11*d^3*x^5*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5) - 15/2*b*c^10*d^3*x^4*arc
sin(c*x)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-
c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(s
qrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^4) - 6*b*c^11*d^2*x^7*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x
^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^7) + 36*b*c^10*d^2*x^6*arcsin(c*x)*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) - 15/2*a*c^10*d^3*x^4/((c^1
6*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^4) - 10/3*b*c^11*d*x^9*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14
*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9) + 8*b
*c^10*d*x^8*arcsin(c*x)*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 +
10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1
) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) + 36*a*c^10*d^2*x^6*e/((c^16*x^11/(sqrt
(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c
^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(s
qrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) + 5*b*c^9*d^3*x^3*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^1
4*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3) - 5*
b*c^9*d^3*x^3*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3) - 3*b*c^8*d^3*x^2*arcsin(
c*x)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*
x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^2) - 8/75*b*c^11*x^11*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11
+ 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^11) + 8*a*c^10*d*x^8*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10
*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^8) + 6*b*c^9*d^2*x^5*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^
2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*
x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^5) + 24*b*c^8*d^2*x^4*arcsin(c*x)*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(s
qrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5
*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^4) - 3*a*c^8*d^
3*x^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2
*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt
(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^2) - 8/3*b*c^9*d*x^7*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11
+ 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^7) + 16*b*c^8*d*x^6*arcsin(c*x)*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^
2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) + 24*a*c^8*d^2*x^4*e/((c^16*x^
11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^4) + b*c^7*d^3*x*log(abs(c)*abs(x))/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5
*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1
) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)) -
b*c^7*d^3*x*log(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)) - 1/2*b*c^6*d^3*arcsin(c*x)/(
c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1
) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^
2 + 1) + 1)) - 8/15*b*c^9*x^9*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x
^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9) + 16*a*c^8*d*x^6*e^2/((c^16*x^11/
(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 +
10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) + 9*b*c^7*d^2*x^3*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8
*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3) + 6*b*c^6*d^2*x^
2*arcsin(c*x)*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/
(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c
^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^2) - 1/2*a*c^6*d^3/(c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*
x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)) + 8/3*b*c^7*d*x^5*e^2
/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2
+ 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2
*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5) + 8*b*c^6*d*x^4*arcsin(c*x)*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^
2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^4) + 6*a*c^6*d^2*x^2*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 +
10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^2) - 16/15*b*c^7*x^7*e^3/((c^16*x^11/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*
c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(
sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7) + 32/5*b*c^6*x^6*arcsin(c*x)*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x
^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^
5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) + 8*a*c
^6*d*x^4*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sq
rt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*
x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^4) + 3*b*c^5*d^2*x*e/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)
^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*
x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) +
1)) + 32/5*a*c^6*x^6*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10
*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1)
+ 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^6) + 10/3*b*c^5*d*x^3*e^2/((c^16*x^11/(sqrt(
-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^
10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sq
rt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3) + 16/15*b*c^5*x^5*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2
*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3
/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5) + 2/3*b*c^3*d*x*e^2/
((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 +
1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*
x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)) + 8/15*b*c^3*x^3*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14
*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1
)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3) + 8/7
5*b*c*x*e^3/((c^16*x^11/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^11 + 5*c^14*x^9/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^9 + 10*c^12*x^7/(sqr
t(-c^2*x^2 + 1) + 1)^7 + 10*c^10*x^5/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^5 + 5*c^8*x^3/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1)^3 + c^6*x
/(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))*(sqrt(-c^2*x^2 + 1) + 1))

________________________________________________________________________________________

maple [A]  time = 0.01, size = 264, normalized size = 1.39 \[ c \left (\frac {a \left (\frac {e^{3} c^{5} x^{5}}{5}+c^{5} d \,e^{2} x^{3}+3 c^{5} d^{2} e x -\frac {d^{3} c^{5}}{x}\right )}{c^{6}}+\frac {b \left (\frac {\arcsin \left (c x \right ) e^{3} c^{5} x^{5}}{5}+\arcsin \left (c x \right ) c^{5} d \,e^{2} x^{3}+3 \arcsin \left (c x \right ) c^{5} d^{2} e x -\frac {\arcsin \left (c x \right ) d^{3} c^{5}}{x}-\frac {e^{3} \left (-\frac {c^{4} x^{4} \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}{5}-\frac {4 c^{2} x^{2} \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}{15}-\frac {8 \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}{15}\right )}{5}-c^{2} d \,e^{2} \left (-\frac {c^{2} x^{2} \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}{3}-\frac {2 \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}{3}\right )+3 c^{4} d^{2} e \sqrt {-c^{2} x^{2}+1}-d^{3} c^{6} \arctanh \left (\frac {1}{\sqrt {-c^{2} x^{2}+1}}\right )\right )}{c^{6}}\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((e*x^2+d)^3*(a+b*arcsin(c*x))/x^2,x)

[Out]

c*(a/c^6*(1/5*e^3*c^5*x^5+c^5*d*e^2*x^3+3*c^5*d^2*e*x-d^3*c^5/x)+b/c^6*(1/5*arcsin(c*x)*e^3*c^5*x^5+arcsin(c*x
)*c^5*d*e^2*x^3+3*arcsin(c*x)*c^5*d^2*e*x-arcsin(c*x)*d^3*c^5/x-1/5*e^3*(-1/5*c^4*x^4*(-c^2*x^2+1)^(1/2)-4/15*
c^2*x^2*(-c^2*x^2+1)^(1/2)-8/15*(-c^2*x^2+1)^(1/2))-c^2*d*e^2*(-1/3*c^2*x^2*(-c^2*x^2+1)^(1/2)-2/3*(-c^2*x^2+1
)^(1/2))+3*c^4*d^2*e*(-c^2*x^2+1)^(1/2)-d^3*c^6*arctanh(1/(-c^2*x^2+1)^(1/2))))

________________________________________________________________________________________

maxima [A]  time = 1.10, size = 241, normalized size = 1.27 \[ \frac {1}{5} \, a e^{3} x^{5} + a d e^{2} x^{3} - {\left (c \log \left (\frac {2 \, \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1}}{{\left | x \right |}} + \frac {2}{{\left | x \right |}}\right ) + \frac {\arcsin \left (c x\right )}{x}\right )} b d^{3} + \frac {1}{3} \, {\left (3 \, x^{3} \arcsin \left (c x\right ) + c {\left (\frac {\sqrt {-c^{2} x^{2} + 1} x^{2}}{c^{2}} + \frac {2 \, \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1}}{c^{4}}\right )}\right )} b d e^{2} + \frac {1}{75} \, {\left (15 \, x^{5} \arcsin \left (c x\right ) + {\left (\frac {3 \, \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1} x^{4}}{c^{2}} + \frac {4 \, \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1} x^{2}}{c^{4}} + \frac {8 \, \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1}}{c^{6}}\right )} c\right )} b e^{3} + 3 \, a d^{2} e x + \frac {3 \, {\left (c x \arcsin \left (c x\right ) + \sqrt {-c^{2} x^{2} + 1}\right )} b d^{2} e}{c} - \frac {a d^{3}}{x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x^2+d)^3*(a+b*arcsin(c*x))/x^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/5*a*e^3*x^5 + a*d*e^2*x^3 - (c*log(2*sqrt(-c^2*x^2 + 1)/abs(x) + 2/abs(x)) + arcsin(c*x)/x)*b*d^3 + 1/3*(3*x
^3*arcsin(c*x) + c*(sqrt(-c^2*x^2 + 1)*x^2/c^2 + 2*sqrt(-c^2*x^2 + 1)/c^4))*b*d*e^2 + 1/75*(15*x^5*arcsin(c*x)
+ (3*sqrt(-c^2*x^2 + 1)*x^4/c^2 + 4*sqrt(-c^2*x^2 + 1)*x^2/c^4 + 8*sqrt(-c^2*x^2 + 1)/c^6)*c)*b*e^3 + 3*a*d^2
*e*x + 3*(c*x*arcsin(c*x) + sqrt(-c^2*x^2 + 1))*b*d^2*e/c - a*d^3/x

________________________________________________________________________________________

mupad [F]  time = 0.00, size = -1, normalized size = -0.01 \[ \int \frac {\left (a+b\,\mathrm {asin}\left (c\,x\right )\right )\,{\left (e\,x^2+d\right )}^3}{x^2} \,d x \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(((a + b*asin(c*x))*(d + e*x^2)^3)/x^2,x)

[Out]

int(((a + b*asin(c*x))*(d + e*x^2)^3)/x^2, x)

________________________________________________________________________________________

sympy [A]  time = 7.83, size = 272, normalized size = 1.43 \[ - \frac {a d^{3}}{x} + 3 a d^{2} e x + a d e^{2} x^{3} + \frac {a e^{3} x^{5}}{5} + b c d^{3} \left (\begin {cases} - \operatorname {acosh}{\left (\frac {1}{c x} \right )} & \text {for}\: \frac {1}{\left |{c^{2} x^{2}}\right |} > 1 \\i \operatorname {asin}{\left (\frac {1}{c x} \right )} & \text {otherwise} \end {cases}\right ) - b c d e^{2} \left (\begin {cases} - \frac {x^{2} \sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{3 c^{2}} - \frac {2 \sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{3 c^{4}} & \text {for}\: c \neq 0 \\\frac {x^{4}}{4} & \text {otherwise} \end {cases}\right ) - \frac {b c e^{3} \left (\begin {cases} - \frac {x^{4} \sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{5 c^{2}} - \frac {4 x^{2} \sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{15 c^{4}} - \frac {8 \sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{15 c^{6}} & \text {for}\: c \neq 0 \\\frac {x^{6}}{6} & \text {otherwise} \end {cases}\right )}{5} - \frac {b d^{3} \operatorname {asin}{\left (c x \right )}}{x} + 3 b d^{2} e \left (\begin {cases} 0 & \text {for}\: c = 0 \\x \operatorname {asin}{\left (c x \right )} + \frac {\sqrt {- c^{2} x^{2} + 1}}{c} & \text {otherwise} \end {cases}\right ) + b d e^{2} x^{3} \operatorname {asin}{\left (c x \right )} + \frac {b e^{3} x^{5} \operatorname {asin}{\left (c x \right )}}{5} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((e*x**2+d)**3*(a+b*asin(c*x))/x**2,x)

[Out]

-a*d**3/x + 3*a*d**2*e*x + a*d*e**2*x**3 + a*e**3*x**5/5 + b*c*d**3*Piecewise((-acosh(1/(c*x)), 1/Abs(c**2*x**
2) > 1), (I*asin(1/(c*x)), True)) - b*c*d*e**2*Piecewise((-x**2*sqrt(-c**2*x**2 + 1)/(3*c**2) - 2*sqrt(-c**2*x
**2 + 1)/(3*c**4), Ne(c, 0)), (x**4/4, True)) - b*c*e**3*Piecewise((-x**4*sqrt(-c**2*x**2 + 1)/(5*c**2) - 4*x*
*2*sqrt(-c**2*x**2 + 1)/(15*c**4) - 8*sqrt(-c**2*x**2 + 1)/(15*c**6), Ne(c, 0)), (x**6/6, True))/5 - b*d**3*as
in(c*x)/x + 3*b*d**2*e*Piecewise((0, Eq(c, 0)), (x*asin(c*x) + sqrt(-c**2*x**2 + 1)/c, True)) + b*d*e**2*x**3*
asin(c*x) + b*e**3*x**5*asin(c*x)/5

________________________________________________________________________________________